מבוא לתורת השדות עוזי וישנה

מבוא לתורת השדות עוזי וישנה

מבוא לתורת השדות מהדורה 1.38 הקדמה. שדות הם החוגים המוצלחים ביותר: הם קומוטטיביים, וכל האברים שלהם הפיכים. המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה, ולכן אין זה פלא ששדות תופסים מקום מרכזי בתורת החוגים. יתרה מזו, מכיוון ששדות מיוחדים מופיעים באופן טבעי בשטחים אחרים של המתמטיקה, יש לתורת השדות חשיבות עצמאית. במבוא נתמקד באברים אלגבריים, ונראה שכל שדה מוכל בשדה סגור אלגברית. החלק העיקרי של הקורס מוקדש לתורת גלואה, החוקרת שדות באמצעות הרחבות סופיות. תורת גלואה, שפיתח (בעיקר) אווריסט גלואה בסביבות 1830, הולידה את תורת החבורות, ופתרה שתיים מקבוצות הבעיות המרכזיות במתמטיקה של אותה עת: הבעיות הגאומטריות של ימי קדם מחד, וההוכחה שלא ניתן לפתור את המשוואה הפולינומית ממעלה n 5, מאידך. חוברת זו מציגה, לצד מבוא כללי לתורת השדות ויסודות התאוריה של גלואה, גם פתרון לשאלות אלו. עוזי וישנה, 9.2013 2

תוכן עניינים 7 מבוא 1 7 רקע מתורת החוגים........................... 1.1 7 חוגים ואידאלים........................ 1.1.1 8............................. שדות 1.1.2 8.................. מושגי יסוד בתחומי שלמות 1.1.3 9 חוג הפולינומים מעל שדה................... 1.1.4 9........................ בניות של שדות 1.1.5 10................... אי פריקות של פולינומים 1.1.6 10 שורשים............................. 11...................... קריטריון אייזנשטיין 11 הלמה של גאוס......................... 12 הרחבות של שדות............................ 1.2 12...................... שדה הוא חוג פשוט 1.2.1 13 יוצרים של הרחבה....................... 1.2.2 13................... פולינומים בשדה הרחבה 1.2.3 14 הצבה והפולינום המינימלי................... 1.2.4 15....................... ממד של הרחבות 1.2.5 15......................... כפליות הממד 16................... הממד של הרחבה פשוטה 17.......................... שדה מפצל 1.2.6 2 תורת גלואה 19 2.1 שדות פיצול............................... 19 2.1.1 שיכונים............................ 19 2.2 ספרביליות............................... 21 2.2.1 מאפיין של שדה........................ 21 2.2.2 פולינומים ספרביליים..................... 22 2.2.3 שיכונים במקרה הספרבילי.................. 23 2.2.4 הרחבות ספרביליות...................... 24 3

תוכן עניינים תוכן עניינים 25 הרחבות אי ספרביליות טהורות................ 2.2.5 27 חבורות גלואה.............................. 2.3 27........................ אוטומורפיזמים 2.3.1 27......................... חבורת גלואה 2.3.2 28 הסדר של חבורת גלואה.................... 2.3.3 28.......................... שדה השבת 2.3.4 28........................ התאמת גלואה 2.3.5 29 ממד וסדר........................... 2.3.6 30............................. הרחבות גלואה 2.4 31 סדר וממד........................... 2.4.1 31............................. המשפט היסודי 2.5 32....................... הלמה של ארטין 2.5.1 33............... המשפט היסודי של תורת גלואה 2.5.2 35......................... בעיית ההיפוך 2.5.3 35.......................... סגור גלואה 2.5.4 36..................... מספר שדות הביניים 2.5.5 36....................... הרכבה של שדות 2.5.6 37 שימושים 3 37.............................. שורשי יחידה 3.1 37 החבורה הכפלית של שדה................... 3.1.1 38 הפולינומים הציקלוטומיים................... 3.1.2 39......................... השדה ] n Q[ρ 3.1.3 40 משוואות ממעלה שלישית ורביעית.................... 3.2 41 משוואה ממעלה שלישית.................... 3.2.1 41............... פתרון בעזרת פונקציות סימטריות 43 הדיסקרימיננטה........................ 3.2.2 44 משוואה ממעלה רביעית.................... 3.2.3 44....................... הפתרון של פרארי 44 ניתוח הפתרון של פרארי.................... 46.................. פתרון בעזרת סדרת ההרכב 48 פתירות על ידי רדיקלים......................... 3.3 48 הנורמה והעקבה........................ 3.3.1 48 הרחבות רדיקליות....................... 3.3.2 49....................... הרחבות ציקליות 3.3.3 50........................ חבורות פתירות 3.3.4 51............ משפט גלואה על פתירות לפי רדיקלים 3.3.5 53............... בניות במחוגה וסרגל והבעיות של ימי קדם 3.4 53..................... בניות במחוגה וסרגל 3.4.1 54................ שדה המספרים הניתנים לבניה 3.4.2 4

תוכן עניינים תוכן עניינים 55............... שרשראות של הרחבות ריבועיות 3.4.3 56 בניית מצולעים משוכללים................... 3.4.4 57 הבעיות הגאומטריות של ימי קדם............... 3.4.5 57............................ אוריגמי 3.4.6 57.............................. שדות סופיים 3.5 59 נושאים נוספים בתורת השדות 4 59........................... הרחבות אלגבריות 4.1 59..................... הרחבה נוצרת סופית 4.1.1 60....................... אלגבריות ויוצרים 4.1.2 60 סגור אלגברי יחסי....................... 4.1.3 60 שדה סגור אלגברית...................... 4.1.4 61................... הסגור האלגברי של שדה 4.1.5 61.................... יחידות הסגור האלגברי 4.1.6 62 הרחבות טרנסצנדנטיות......................... 4.2 63 פונקציות סימטריות...................... 4.2.1 63 הרחבות מדרגה. 1...................... 4.2.2 63............................. נושאים נוספים 4.3 5

תוכן עניינים תוכן עניינים 6

פרק 1 מבוא נכתבו ספרים רבים על תורת השדות בכלל ועל תורת גלואה בפרט. כמה אפשרויות מומלצות: Lectures in Abstract Algebra III / Jacobson.1 Groups, Rings, Fields / Rowen.2 Algebra / Lang.3 4. Tignol - Galois Theory / דוגמאות מפורטות על משואוות ממעלה נמוכה..5 Humphrys - Introduction to Galois Theory / נקודת מבט הסטורית. Galois Theory / Cox.6 1.1 רקע מתורת החוגים 1.1.1 חוגים ואידאלים מבנה אלגברי עם שתי פעולות (הנקראות חיבור וכפל) ושני קבועים (אפס ואחד) הוא חוג, אם הוא מהווה חבורה אבלית ביחס לחיבור, מונויד ביחס לכפל, ומתקיימת תכונת הדיסטריבוטיביות:.x(y+z) = xy+xz,(x+y)z = xy+xy בין הדוגמאות המוכרות: חוג השלמים, חוגי מטריצות וחוגי פולינומים. חוג הוא קומוטטיבי אם xy = yx לכל.x, y אידיאל של חוג R הוא קבוצת אברים I R הסגורה לחיבור וחיסור וסגורה לפעולת כפל 'מבחוץ', כלומר xa, ax I לכל a I ו R x. במקרה כזה מסמנים I R אידיאל הוא האנלוג לתת חבורה נורמלית בתורת החבורות, בכך שאם.I R אז חבורת המנה R/I היא חוג ביחס לפעולת הכפל המושרית מ R. לדוגמא, לכל n,,nz Z וחוג המנה Z/nZ הוא חוג המספרים מודולו n, עם פעולות החיבור והכפל 7

1.1. רקע מתורת החוגים פרק 1. מבוא המודולריות. אידיאל שאינו שווה לחוג כולו נקרא אידיאל אמיתי. כל אידיאל אמיתי מוכל באידיאל אמיתי מקסימלי (טענה זו נובעת מן הלמה של צורן). 1.1.2 שדות שדה הוא חוג קומוטטיבי שבו כל איבר 0 x הוא הפיך. לדוגמא, R Q, ו C הם שדות. לעומת זאת Z אינו שדה. יש גם שדות סופיים, למשל F, p = Z/pZ כאשר p מספר טבעי ראשוני. גם תורת המודולים מעל שדות פשוטה בתכלית: כל מודול מעל שדה הוא חופשי, בעל דרגה מוגדרת היטב (הקרויה ממד); יש מרחב וקטורי יחיד, עד כדי איזומורפיזם, מכל ממד. יהי K שדה. תת קבוצה F K שהיא שדה בעצמה (ביחס לאותן פעולות) נקראת תת שדה. תרגיל (*) 1.1.1 תת קבוצה = F K היא תת שדה אם היא סגורה לחיבור ונגדי, לכפל ולהפכי. תת חוג F K הוא תת שדה אם הוא סגור להפכי. 1.1.3 מושגי יסוד בתחומי שלמות חוג קומוטטיבי שאין לו מחלקי אפס נקרא תחום שלמות. תחום שלמות שבו כל אידיאל הוא ראשי (כלומר נוצר על ידי איבר אחד) נקרא תחום ראשי. אם מוגדרת על תחום שלמות R פונקציה { } R N d : כך שלכל a ולכל 0 b יש איבר x a Rb כך ש ( d(b,d(x) < אז R הוא תחום אוקלידי. כל תחום אוקלידי הוא תחום שלמות. איבר p בתחום שלמות R הוא אי פריק אם כל פירוק p = ab הוא טריוויאלי (היינו אחד הגורמים הפיך). איבר p הוא ראשוני אם מ ab p נובע ש a p או p. b כל איבר ראשוני הוא אי פריק. בתחום ראשי, כל איבר אי פריק הוא ראשוני, כך שהמושגים מתלכדים. בתחום ראשי, כל איבר אפשר לפרק למכפלה של ראשוניים באופן יחיד (היחידות היא עד כדי החלפת סדר הגורמים, וכפל בהפיכים). יהי R תחום ראשי. המחלק המשותף המקסימלי של,a b R הוא אותו d (יחיד עד כדי כפל בהפיך) כך ש Rd.Ra + Rb = הגדרה זו שקולה לכך ש b d,a ו d x לכל.x a, b האברים a, b הם זרים אם,Ra + Rb = R אם ורק אם 1 הוא צירוף לינארי שלהם (מעל R), אם ורק אם כל מחלק משותף x,a b הוא הפיך. משפט השאריות הסיני קובע שאם,a b זרים, אז R/Rab = R/Ra R/Rb (ובאופן כללי יותר, אם (.R/Ra 1 a t = R/Ra1 R/Ra t זרים בזוגות, אז a 1,..., a t אם R חוג קומוטטיבי ו M R אידיאל מקסימלי (כלומר, אין אידיאל M R כך ש M M), אז חוג המנה R/M הוא שדה. בתחום ראשי, לכל איבר אי פריק p, האידיאל Rp הוא מקסימלי, ולכן המנה R/Rp היא שדה. 8

מבוא 1.1. רקע מתורת החוגים פרק 1. 1.1.4 חוג הפולינומים מעל שדה { N =,R[λ] כאשר N אינו מוגבל, n=0 a nλ n : a 0,..., a N R} יהי R חוג. החוג נקרא חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R. על הבניה הזו אפשר לחזור: במקום ] 2 (R[λ 1 ])[λ כותבים ] 2,R[λ 1, λ משום שסדר הוספת המשתנים אינו חשוב: (R[λ 1 ])[λ 2 ] = (R[λ 2 ])[λ 1 ]. באופן כללי יותר מגדירים באינדוקציה ] n.r[a 1,..., a n ] = (R[a 1,..., a n 1 ])[a כאשר R = F הוא שדה, החוג [λ] F הוא חוג אוקלידי באמצעות פונקציית המעלה,d( a n λ n ) = max an 0 n ולכן הוא ראשי וחלות עליו כל התכונות הטובות שהוזכרו בתת הסעיף הקודם. בפרט, לכל פולינום [λ] f F יש פירוק יחיד לגורמים אי פריקים. טענה 1.1.2 יהי [λ] f, F פולינום ממעלה n. חוג המנה [λ]/ f F הוא מרחב וקטורי, עם הבסיס } 1 n { x i + f : i = 0,...,. חוג המנה [λ]/ f F הוא שדה אם ורק אם f = R[λ]f אידיאל מקסימלי, אם ורק אם f אי פריק. אם f = gh כאשר,g h זרים, אז לפי משפט השאריות,f = g n 1 אז 1 gn t הסיני [λ]/ h.f [λ]/ f = F [λ]/ g F לכן, אם נפרק t.f [λ]/ f = F [λ]/ g n i חוג מהצורה n F [λ]/ g הוא חוג מקומי (שדה אם ורק i אם = 1 n), ו(אם g אי פריק), אינו ניתן לפירוק כמכפלה של חוגים. 1.1.5 בניות של שדות להלן כמה בניות של שדות (נציג אחרות בהמשך). 1. חוגי מנה: (א) לכל חוג קומוטטיבי R ולכל אידיאל מקסימלי R/M M, הוא שדה. (ב) בפרט, יהי R תחום שלמות, ויהי p R איבר אי פריק. אז R/pR הוא שדה. למשל, Z/pZ הוא שדה סופי בן p אברים. (ג) בפרט, אם [λ] f F הוא אי פריק, אז [λ]/ f F הוא שדה. נחזור לעסוק בבניה זו בהמשך (טענה 1.2.23). 2. שדה שברים: { a, שבו השוויון (א) יהי R תחום שלמות. שדה השברים 0} b b : a, b R, a a b = אם,ab = a b הוא שדה ביחס לפעולות הטבעיות b מוגדר כך ש מסמנים ב ( q(r. R את שדה השברים של. a a b b = aa bb a a b + ו b = ab +a b bb למשל, שדה השברים של Z הוא Q. שדה השברים של שדה F שווה (ליתר 9

1.1. רקע מתורת החוגים פרק 1. מבוא דיוק, איזומורפי) לשדה עצמו. אם R תחום ראשי, כל שבר אפשר להציג בצורה a b כאשר a, b זרים. כל תת חוג של שדה הוא תחום שלמות, ובזכות הבניה של שדה שברים גם ההיפך נכון: כל תחום שלמות מוכל בשדה. (ב) בפרט, אם F שדה, אז שדה השברים של [λ] F נקרא שדה הפונקציות הרציונליות (במשתנה אחד) מעל F, ומסמנים אותו ב ( λ ) F (שימו לב לסוגריים העגולים במקרה זה, לעומת הסוגריים המרובעים במקרה של חוג הפולינומים.) אברי השדה (λ) F הם השברים מהצורה פולינומים ו 0 g, עם הפעולות הטבעיות של שברים. f, g כאשר f(λ) g(λ) (ג) באופן כללי יותר, לכל מספר משתנים λ, 1,..., λ n שדה השברים של חוג הפולינומים ] n F [λ 1,..., λ נקרא שדה הפונקציות הרציונליות ב n משתנים, ומסמנים אותו ב (.F (λ 1,..., λ n, שבו,a n F הטורים.3 יהי F שדה. אוסף הטורים הפורמליים n= N a nλ n מתחילים בנקודה כלשהי (ועשויים להיות אינסופיים), נקרא השדה של טורי לורן מעל F, ומסמנים אותו ב (( λ )) F. זהו אכן שדה, המכיל את שדה הפונקציות.F (λ) תרגיל (*) 1.1.3 לכל הומומורפיזם של חוגים F, K יש המשכה להומומורפיזם K(λ) F (λ) (המשכה היא הומומורפיזם מ ( λ ) F המתלכד עם ההומומורפיזם הנתון על F). 1.1.6 אי פריקות של פולינומים יהי F שדה. כפי שראינו, המנה [λ]/ p F היא שדה אם ורק אם p פולינום אי פריק (מעל F). נדון באי פריקות של פולינומים משלוש זוויות (שיטה רביעית, של הפולינום המינימלי, מוצגת במסקנה 1.2.13). שורשים פולינום ממעלה ראשונה הוא לעולם אי פריק, ולכן נדון כאן רק בפולינומים ממעלה גבוהה יותר. איבר a F הוא שורש של הפולינום [λ] f F אם = 0 f(a) (וראה תת סעיף 1.2.4). תרגיל (*) 1.1.4 a הוא שורש של [λ] f F אם ורק אם λ a מחלק את.f(λ) הדרכה. חילוק עם שארית: כתוב r(λ) f(λ) = q(λ)(λ a)) + כאשר deg(λ deg(r) <.a) = 1 לכן, פולינום (ממעלה < 1) עם שורש הוא פריק. מאידך, תרגיל (*) 1.1.5 אם פולינום ממעלה 2 או 3 פריק, אז יש לו שורש. 10

מבוא 1.1. רקע מתורת החוגים פרק 1. אם כך, פולינום ממעלה נמוכה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש. טענה זו אינה נכונה במעלות מ 4 ומעלה: תרגיל (*) 1.1.6 תן דוגמא לפולינום פריק מעל Q, ממעלה 4, שאין לו שם שורשים. איך מראים שלפולינום אין שורשים? נניח ש R תחום ראשי, q(r) F = ו = f R[λ] a n λ n + + a 0 (כל פולינום מעל F אפשר להביא לצורה כזו על ידי כפל בסקלר). c d (כלומר,c d זרים) הוא שורש של f, אז תרגיל (*) 1.1.7 אם שבר מצומצם F d a n ו c. a 0 בפרט, אם הפולינום מתוקן (כלומר המקדם המוביל שלו הוא 1), אז כל שורש שלו ב F נמצא למעשה ב R. לתרגיל 1.1.4 יש מסקנה חשובה אחרת. תרגיל (*) 1.1.8 לכל a,a הפולינומים λ a,λ a זרים זה לזה. מסקנה 1.1.9 מספר השורשים של פולינום 0 f מעל שדה כלשהו, אינו עולה על המעלה שלו. קריטריון אייזנשטיין יהי R תחום שלמות. נניח ש R p ראשוני. פולינום R[λ] a n λ n + + a 0 נקרא פולינום אייזנשטיין אם מתקיימים התנאים הבאים:.p 2 a 0,p a n 1,..., a 0,p a n טענה 1.1.10 פולינום אייזנשטיין הוא אי פריק מעל R. התרגיל הבא מאפשר לעבור מפולינום שאינו מקיים את הקריטריון, לכזה שכן מקיים אותו: תרגיל (*) 1.1.11 אם f(x) פריק מעל R אז לכל,a 0,a, b R גם b) f(ax + פריק. מצא הצבה הדרכה. תרגיל (**) 1.1.12 הראה ש 1 x 6 + x 3 + אי פריק מעל.Z שאחריה הפולינום יקיים את התנאי עבור = 3 p. הלמה של גאוס טענה 1.1.10 מציגה מקרה שבו פולינום הוא אי פריק מעל חוג R. אלא שאנחנו מעוניינים באי פריקות מעל שדה (למשל שדה השברים של R), וא פריורי אי פריקות מעל R אינה מועילה: תרגיל (**) 1.1.13 נניח ש R R 1 הם תחומי שלמות, R[λ].f אם f אי פריק מעל R 1 אז הוא גם אי פריק מעל R, אבל ההיפך אינו בהכרח נכון. 11

1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא בפרט, תרגיל (**) 1.1.14 נניח ש R תחום שלמות, q(r).f R[λ],F = אם f אי פריק מעל F אז הוא גם אי פריק מעל R, אבל ההיפך אינו בהכרח נכון. הלמה הבאה מספקת פתרון לבעיה הזו. טענה 1.1.15 (הלמה של גאוס) יהי R תחום ראשי. אם R[λ] f אי פריק מעל R, אז F. אי פריק גם מעל f 1.2 הרחבות של שדות זוג שדות F K נקרא הרחבה של שדות; במקרה זה K נקרא הרחבה של F. הדגש הוא על כך שהשדה K מרחיב את השדה F, וכולל כביכול פתרונות למשוואות שאי אפשר לפתור ב F. הרחבה כזו מסמנים גם ב K/F (אין לזה שום קשר עם הסימון הזהה של חוג מנה). שדות המקיימים F L K נקראים שדות ביניים של ההרחבה.K/F 1.2.1 שדה הוא חוג פשוט חוג פשוט הוא חוג שאין לו אידיאלים פרט ל 0. תרגיל (*) 1.2.1 חוג קומוטטיבי הוא פשוט אם ורק אם הוא שדה. לעובדה זו יש מסקנה חשובה: תרגיל (*) 1.2.2 כל הומומורפיזם (של חוגים עם יחידה) F, A כאשר F שדה, הוא שיכון (כלומר הומומורפיזם חד חד ערכי). בפרט, כל הומומורפיזם בין שדות הוא שיכון, כלומר הוא מגדיר הרחבה של השדה הקטן לתוך השדה הגדול. כל הכלה F K מגדירה שיכון באופן טבעי. במקרים רבים אפשר לשכן את אותו השדה בשדה גדול בכמה דרכים. 1. אם Q, K אז יש שיכון יחיד Q K (והוא השיכון הטבעי). תרגיל (**) 1.2.3 2. מצא שני שיכונים שונים של [2 ]Q ב R. 3. הראה שאין אף שיכון של [2 ]Q לתוך R. 12

מבוא 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. 1.2.2 יוצרים של הרחבה L Λ הערה 1.2.4 יהיו F E שדות, ויהי Λ אוסף של שדות ביניים. אז החיתוך L הוא שדה. יהיו F K שדות עם קבוצת איברים S. K חיתוך תת השדות של K הכוללים את S הוא תת השדה הנוצר על ידי S, ומסמנים אותו ב ( S ) F. זהו השדה הקטן ביותר הכולל את F ואת S. אוסף המנות של פולינומים באיברים של S הוא שדה, השווה לפיכך ל ( S ) F. בפרט, אפשר לבחור {a} S = ולקבל את השדה (a) F. הרחבה כזו, באיבר אחד, נקראת הרחבה פשוטה. F Λ שדה. הערה 1.2.5 אם Λ קבוצת שדות סדורה לינארית, אז F 1.2.3 פולינומים בשדה הרחבה תהי F K הרחבה של שדות. חוג הפולינומים [λ] F מוכל ב [ K[λ, ולכן כל פולינום מעל F הוא גם פולינום מעל K. יש אברים ב [ λ ] F שהתכונות שלהם עשויות להשתנות כשעוברים לחוג הגדול יותר. לדוגמא, פולינום [λ] f F עשוי להיות אי פריק מעל F ולהתפרק מעל שדה הרחבה K של.F למשל, x 4 + 1 אי פריק מעל,Q אבל מתפרק מעל 2] Q[ למכפלה (x 2 + 2x + 1)(x 2 2x + 1). מכיוון שהפירוק מעל K הוא יחיד, הפירוק של f לגורמים איפריקים מעל F מעודן ב K : כל גורם אי פריק מעל K מחלק (מעל K) גורם אי פריק מעל F. טענה 1.2.6 נניח ש F K שדות, ו [λ].f, g F 1. המחלק המשותף המקסימלי של,f g כפולינומים מעל F שווה למחלק המשותף המקסימלי שלהם כפולינומים מעל K. 2. בפרט: (א) אם פולינומים [λ],f g F הם זרים מעל F, אז הם זרים גם מעל K. (ב) אם [λ] f, g F ו g f מעל,K אז f g גם מעל.F d F המחלק המשותף המקסימלי מעל F, ויהי d K המחלק המשותף המקסימלי מעל הוכחה. יהי מאידך, d F d K לפי ההגדרה של,d K משום ש d F מחלק את f, g בחוג.K[λ] מחד,.K מכאן שעד כדי כפל בסקלר, d K d F מעל.K d F עבור [λ],a, b F ולכן = af + bg.d K = d F הטענה השניה נובעת מהראשונה משום ש g,f זרים אם ורק אם המחלקה משותף המקסימלי שלהם הוא 1, ו g f אם ורק אם המחלק המשותף המקסימלי הוא f. 13

1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא לסיכום, המושג 'פולינום אי פריק' תלוי בשדה שמעליו בוחנים את הפולינום; שדה יכול להיות אי פריק מעל שדה אחד, ופריק מעל שדה גדול יותר. אבל המושגים 'פולינומים זרים' ו 'מחלק' אינם תלויים בשדה הבסיס. תרגיל (**) 1.2.7 לכל הרחבה ;F (λ) K[λ] = F [λ],k/f ראה טענה.1.2.6 הערה. פורמלית כדי שלחיתוך תהיה משמעות יש לחשוב על (λ) F ועל K[λ] כעל תת קבוצות של.K(λ) 1.2.4 הצבה והפולינום המינימלי תהי A אלגברה מעל F (היינו, חוג A שהמרכז שלו מכיל את F). אז לכל a, A הומומורפיזם ההצבה F [λ] A הוא ההומומורפיזם המוגדר לפי Φ a : f(λ) f(a). אם הגרעין של Φ a הוא אפס, אומרים ש a טרנסצנדנטי. פירושו של דבר הוא שלא קיים פולינום המאפס את a (פרט כמובן לפולינום האפס). תרגיל (*) 1.2.8 אם a טרנסצנדנטי, [a] F איזומורפי לחוג הפולינומים. אם הגרעין [λ] Ker(Φ a F ( אינו אפס, אז a אלגברי. במקרה זה יש יוצר f a של ) a Ker(Φ (יחיד עד כדי כפל בסקלר), שהוא הפולינום המינימלי של a. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, (1.1) F [λ]/ f a = Im(Φ a ) = F [a]. למינימליות יש משמעות כפולה, ולמרבה הנוחות שתיהן מתלכדות: טענה 1.2.9 הפולינום המתוקן הוא בעל מעלה מינימלית בקבוצת הפולינומים המאפסים את a, והוא מחלק כל פולינום אחר המאפס את a (ולכן הוא גם המינימום לגבי יחס החלוקה). מסקנה 1.2.10 יהי a A איבר אלגברי מעל F, עם פולינום מינימלי f. a אז dim(f [a]) = deg(f a ). הוכחה. [a] F [λ]/ f a = ImΦ a = F היא תת אלגברה של,A והממד מתקבל מטענה.1.1.2 טענה 1.2.11 אם A תחום שלמות, אז הפולינום המינימלי f a אי פריק, ואז [a] F שדה. 14

מבוא 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. הוכחה. אם f a = f 1 f 2 אז מ 0 = )(a) f 1 (a)f 2 (a) = (f 1 f 2 נובע = 0 (a) f 1 או = 0 (a) f, 2 בסתירה למינימליות של המעלה. ומכיוון ש [ λ ] F תחום ראשי, האידיאל שאיבר אי פריק יוצר הוא מקסימלי. החידוש בטענה זו הוא שכאשר a אלגברי, לכל פולינום ב a (אם אינו מתחלק בפולינום המינימלי) יש פולינום אחר ב a כך שמכפלתם היא 1. להלן הוכחה חישובית לעובדה שימושית זו: תרגיל (**) 1.2.12 נניח ש f, a פולינום אי פריק מעל F, הוא הפולינום המינימלי של.a אם 0 g(a) אז g(λ) זר ל ( λ ),f a ולכן קיימים [λ] α(λ), β(λ) F כך ש.g(a) 1 = הראה ש ( β(a.α(λ)f a (λ) + β(λ)g(λ) = 1 הטענה האחרונה היא הקריטריון הנוסף לאי פריקות שהבטחנו בתת סעיף 1.1.6: מסקנה 1.2.13 תהי K/F הרחבה של שדות, ויהי a. K אז הפולינום המינימלי של a מעל F הוא אי פריק (מעל F). (מיידי מטענה 1.2.11 משום ש K הוא תחום שלמות.) כעת נניח ש A שדה. נסמן ב ( a ) F את תת השדה הנוצר על ידי a. הערה 1.2.14 כאשר a אלגברי, F [a] = ImΦ a הוא שדה כפי שראינו (הערה 1.2.11), ולכן.F (a) = F [a] תרגיל (*) 1.2.15 אם a טרנסצנדנטי, אז (a) F איזומורפי לשדה פונקציות רציונליות.F (λ) 1.2.5 ממד של הרחבות נסמן את הממד של מרחב וקטורי V מעל שדה K ב.dim K V את K/F הרחבה של שדות, אז K הוא מרחב וקטורי מעל F (עם הכפל בסקלר המושרה מכפל ב K ), ולכן יש ממד, שאותו נסמן ב K K]. F: ] = dim F הממד הוא אינווריאנט חשוב ביותר בתורת השדות. כפליות הממד טענה 1.2.16 יהי V מרחב וקטורי מעל שדה K, כאשר F K תת שדה. אז dim F V = [K :F ] dim K V. מסקנה 1.2.17 בפרט בשרשרת הרחבות,F K E [E :F ] = [E :K] [K :F ]. 15

1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא הממד של הרחבה פשוטה כפי שראינו, הממד ] [a]:f F] שווה לדרגת הפולינום המינימלי של a מעל F. טענה 1.2.18 תהי F L הרחבה של שדות, ויהי a E איבר בשדה.E L אז [L[a]:L] [F [a]:f ]. הוכחה. הפולינום המינימלי של a מעל L מחלק (מעל L) את הפולינום המינימלי של אותו איבר מעל F. דוגמא 1.2.19 בטענה 1.2.18 יכול להיות אי שוויון אמיתי: קח,L = F [ρα],f = Q.2 = [L[a]:L] < [F [a]:f ] אז = 3.ρ = 1+ 3 2 a = α כאשר = 2 3 α ו תרגיל (**) 1.2.20 אם F L E ו E,a ומתקיים 1 ] [a]:f,[l[a]:l] = [F אז יש שיכון F [a] L הדרכה. הפולינום המינימלי של a מעל F מתפצל מעל L לגורמים.(λ a )g(λ) מסקנה 1.2.21 בטענה 1.2.18 קח [b],l = F אז ] [b]:f.[f [a, b]:f ] [F [a]:f ][F באינדוקציה נובע מזה כי (1.2) [F [a 1,..., a n ]:F ] [F [a i ]:F ]. הערה 1.2.22 אי השוויון במסקנה 1.2.18 הפוך מן הטענה האנלוגית לחבורות, שם לכל H 1, H 2 G מתקיים [G:H 1 H 2 ] [H 1 :H 1 H 2 ] [H 2 :H 1 H 2 ], ובפרט לכל חבורה,G תת חבורה H ואברים,a, b G [ H, a, b :H] [ H, a :H] [ H, b :H]. 16

מבוא 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. 1.2.6 שדה מפצל טענה 1.2.23 נניח ש [ λ ] f F פולינום אי פריק. אז בשדה [λ]/ f F יש ל f שורש. הוכחה. הראה באמצעות חישוב ישיר ש f λ + הוא שורש של f. טענה 1.2.24 עבור כל פולינום f מעל שדה F, יש הרחבה K של F שבה יש שורש של f. הוכחה. יהי g גורם אי פריק של f, אז [λ]/ g F הוא שדה שיש בו שורש ל g, ולכן ל f. הגדרה 1.2.25 יהי [λ] f F פולינום מתוקן. הפולינום f מתפצל ב F אם קיימים.f מפצל את F במקרה זה אומרים ש.f(λ) = (λ α i ) כך ש α 1,..., α n F הרחבה E/F שבה הפולינום מתפצל נקראת שדה מפצל של f. עלינו להכליל מושג זה עבור שיכונים: כל שיכון ϕ : F E משרה שיכון של חוגי הפולינומים [λ] E[λ] ϕ, : F לפי הנוסחה ) 0.ϕ(a n λ n + + a 0 ) = ϕ(a n )λ n + + ϕ(a נאמר שהשיכון מפצל את מתפצל ב E. ϕ(f) אם f F [λ] מטענה 1.2.24 נובע באינדוקציה: מסקנה 1.2.26 לכל פולינום f מעל שדה יש שדה מפצל, שממדו אינו עולה על!(f.(deg הוכחה. נסמן deg(f) n. = יהי a שורש של גורם אי פריק g של f; ניקח = 1 F [λ]/ g.f מעל F 1 אפשר לכתוב (λ).f(λ) = (λ a)f 1 לפי הנחת האינדוקציה יש שדה מפצל E של f 1 מעל,F 1 כך ש!( 1 (n.[e :F 1 ] כמובן, E מפצל את,f ומתקיים n!.[e :F ] = [E :F 1 ][F 1 :F ] (n 1)! deg(g) 17

1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא 18

פרק 2 תורת גלואה 2.1 שדות פיצול יהי [λ] f. F הרחבה K/F היא שדה פיצול של f, אם K שדה מפצל מינימלי של f. כלומר, K מפצל את f, אז אף שדה ביניים F K K אינו מפצל. מה מסביר תופעה כזו? מעל השדה K אפשר לפצל את הפולינום לגורמים לינאריים ) i,f(λ) = λ) α ואז הפולינום מתפצל מעל תת שדה F K K אם ורק אם K.α 1,..., α n מכאן שאם E שדה המפצל את,f כלומר ) i f(λ) = (λ α עם,α i E אז E מכיל תת שדה שהוא שדה פיצול, ] n.k = F [α 1,..., α לפי ההוכחה של מסקנה,1.2.26 זוהי הרחבה שהממד שלה n!.[k :F ] הערה 2.1.1 אם F L K ו K שדה פיצול של [λ] f F מעל,F אז K שדה פיצול גם מעל L, עם אותם יוצרים. 2.1.1 שיכונים כפי שכבר ציינו, מנקודת המבט של תורת החוגים, שדה הוא חוג קומוטטיבי פשוט. אחת התוצאות היא: מסקנה 2.1.2 כל הומומורפיזם של שדות הוא שיכון. יהיו F, L, E שדות כך ש L,F ויהי ϕ : F E שיכון. שיכון ϕ : L E נקרא המשכה של ϕ, אם הצמצום של ϕ ל F שווה ל ϕ. אפשר לשרטט מצב זה בדיאגרמה (ראו להלן). אומרים שהדיאגרמה קומוטטיבית אם לכל איבר בנקודת המוצא F, התמונה ביעד E שווה בשתי הדרכים; כלומר, אם ϕ(a) ϕ(a) = לכל a. F הדיאגרמה 19

2.1. שדות פיצול פרק 2. תורת גלואה קומוטטיבית אם ורק אם ϕ הוא המשכה של ϕ: L ϕ E F ϕ E הגדרה 2.1.3 אם L/F הרחבה של שדות ו F E שיכון, נסמן ב E n L F את מספר ההמשכות של השיכון לשיכון L. E תרגיל (**) 2.1.4 יהי F 0 תת השדה הראשוני של F (כלומר F הוא השדה Q או אחד השדות.(Z/pZ הראה שיש שיכון יחיד F. 0 F תרגיל (*) 2.1.5 אם F, K חולקים אותו שדה ראשוני,F 0 הראה ש n F F 0 K הוא מספר השיכונים של F ב K..n Q[i] Q C דוגמא Q[i] 2.1.6 משוכן ב C בשתי דרכים, כלומר = 2 למה 2.1.7 יהי φ : F E שיכון. תהי [a] F 1 = F הרחבה פשוטה, ויהי [λ] f F n F 1 שווה למספר השורשים של φ(f) ב E. בפרט: F E הפולינום המינימלי של a. אז.n F 1.1 מתקיים ] :F F E [F 1 2. יש המשכה של φ ל F 1 E אם ורק אם ל ( φ(f יש לפחות שורש אחד ב E. נאמר שפולינום g המתפצל בשדה E הוא ספרבילי שם, אם בפירוק שלו לגורמים אין אף גורם כפול (מהצורה (α 2 λ)). בצורה פחות מדוייקת מקובל לומר ש'כל השורשים של f ב E שונים זה מזה' (בהמשך נראה שתכונה זו אינה תלויה ב E כלל). משפט 2.1.8 יהי φ : F E שיכון. n K F E [K :F ]. 1. לכל הרחבה סופית,K/F 2. אם K נוצר מעל F על ידי שורשים של פולינום f שתמונתו φ(f) מתפצלת ב E, אז (א) יש הרחבה K E של φ..n K F E (ב) אם φ(f) ספרבילי ב E אז ] F: K] = 20

2.2. ספרביליות פרק 2. תורת גלואה הוכחה. עבור,1 כתוב ] n.k = F [a 1,..., a נוכיח את הטענה באינדוקציה על.n n F 1 המשכות של השיכון אל נסמן ] 1.F 1 = F [a לפי למה 2.1.7 יש ] :F F E [F 1.φ 1 : F 1 E לפי הנחת האינדוקציה, לכל אחת מאלה יש 1] n K F 1 E [K :F המשכות ל K E, ואם נסכם על כל ההמשכות הראשונות נקבל בסך הכל (2.1) n K F E = φ 1 n K φ 1 : F 1 E φ 1 [K :F 1 ] [F 1 :F ][K :F 1 ] = [K :F ] המשכות אל K. את 2 נוכיח באותו אופן, אלא שהפעם נניח ש a 1,..., a n כולם שורשים של f n F 1 1 כי יש ב E שורשים ב K. שוב ניקח ] 1.F 1 = F [a לפי למה F E 2.1.7 f 1 f כאשר ספרבילי ב E, φ(f 1 ) מתקיים אם n F 1 ל ( φ(f, והשוויון ] :F F E = [F 1 הוא הפולינום המינימלי של a. 1 אם = 1 n, זה נובע מהספרביליות של.φ(f) כעת, f הוא פולינום מעל K F, 1 שדה נוצר על ידי אותם שורשים מעל F, 1 ולכל שיכון E,φ : F 1 E מפצל את φ(f).φ (f) = לפי הנחת האינדוקציה, ראשית, כל שיכון F 1 E אפשר להמשיך לשיכון K, E ושנית, אם φ(f) ספרבילי ב E אז מתקיים שוויון 1].n K F 1 E = [K :F לכן, אם גם φ(f) וגם ) 1 φ(f ספרביליים ב E יש ;n K F F אבל כאשר φ(f) ספרבילי גם ) 1 φ(f ספרבילי. שוויון ] :F [K = משפט 2.1.9 לכל פולינום מעל שדה F יש שדה פיצול יחיד עד כדי איזומורפיזם. הוכחה. יהיו K,K שדות פיצול. לפי משפט (א) 2.1.8.2 יש שיכון K K, שהוא על כי K מפצל מינימלי. מעתה אפשר לדבר על שדה הפיצול של פולינום (מעל שדה נתון), בהא הידיעה. שדה הפיצול אכן תלוי בשדה הבסיס: למשל, שדה הפיצול של Q[λ] λ 2 + 1 מעל Q הוא C. הוא R אבל שדה הפיצול של אותו פולינום מעל,Q[i] מסקנה 2.1.10 יהיו F F 1 K שדות, ו E F שיכון.,n F 1 ולכל שיכון ϕ : F 1 E הממשיך את F E = [F 1 :F ] אז,n K F E אם ] :F [K = השיכון הנתון.n K ϕ : F 1 E = [K :F 1] 1,F E הוכחה. באי השוויון (2.1) שווים זה לזה אגף שמאל ואגף ימין, ומכאן שיש שוויון בכל שלב בדרך. 2.2 ספרביליות 2.2.1 מאפיין של שדה המאפיין של השדה F הוא הסדר של 1 בחבורה החיבורית של השדה, או 0 אם הסדר הוא אינסופי. את המאפיין של F מסמנים ב.charF מאפיין חיובי של שדה הוא תמיד מספר ראשוני. תת השדה הנוצר על ידי 1 נקרא תת השדה הראשוני של F. תת השדה הראשוני תלוי רק במאפיין, והוא שווה ל Q במאפיין אפס, או לשדה Z/pZ במאפיין p. מכאן שכל שדה מכיל עותק של Q או של איזשהו F. p = Z/pZ 21

פרק 2. תורת גלואה 2.2. ספרביליות תרגיל (*) 2.2.1 בכל הרחבה,K/F לשני השדות אותו מאפיין. הערה 2.2.2 אם F שדה ממאפיין,p אז (a + b) p = a p + b p לכל.a, b F לכן הפונקציה x x p היא שיכון (!) של שדות F. F את התמונה של השיכון הזה מסמנים.F שהוא איזומורפי ל,F זהו תת שדה של ;F p = {a p : a F } תרגיל (*) 2.2.3 תן דוגמא לשדה F ממאפיין p כך ש.F p F הגדרה 2.2.4 שדה הוא מושלם אם המאפיין שלו אפס, או שהמאפיין > 0 p ומתקיים F. p = F 2.2.2 פולינומים ספרביליים הגדרה 2.2.5 פולינום [λ] f F הוא ספרבילי (מעל F) אם כל שורשיו בשדה הפיצול שלו מעל F שונים זה מזה. הערה 2.2.6 נניח ש f = f 1 f t פירוק לגורמים אי פריקים (מתוקנים) מעל.F אז f ספרבילי אם ורק אם כל ה f i שונים וספרביליים. (משום שבשדה הפיצול של f, לגורמים אי פריקים שונים אין שורשים משותפים). לדוגמא, 1) 2 (x 2 + אינו ספרבילי. הערה Jacobson 2.2.7 קורא לפולינום ספרבילי, אם כל גורם אי פריק שלו הוא ספרבילי. לפי הגדרה זו, (1 2 x) 2 + דווקא כן ספרבילי מעל Q. ההגדרה שלנו נמצאת למשל בספרו של,Lang והיא מקובלת יותר. מסקנה 2.2.8 אם [λ] f F ספרבילי ו f g מעל,F אז גם g ספרבילי. על חוג הפולינומים [λ] F מגדירים נגזרת פורמלית לפי החוק i 1 a i λ i ) = a i iλ.( תרגיל (*) 2.2.9 הוכח את כלל לייבניץ.(fg) = fg + f g טענה 2.2.10 הפולינום [λ] f F ספרבילי אם ורק אם = 1 ) f.(f, הוכחה. לפי טענה 1.2.6 אפשר לחשב את המחלק המשותף המקסימלי בשדה הפיצול K. אם f אינו ספרבילי אז אפשר לכתוב g(λ) f(λ) = (λ a) 2 לאיזשהו,a K ואז (λ) f (λ) = 2(λ a)g(λ) + (λ a) 2 g אינו זר ל ( f(λ משום ששניהם מתחלקים ב ( a.(λ מאידך, נניח שהפולינום ספרבילי. נכתוב ) i f(λ) = (λ a עבור a i K השונים זה מזה, אז לפי כלל לייבניץ f (λ) = n (λ a 1 ) (λ a i 1 )(λ a i+1 ) (λ a n ), i=1 ולכן לכל,f (a j ) = i j (a j a i ) 0,j כלומר אף a j אינו שורש של (λ) ;f אבל a 1,..., a n הם השורשים היחידים של,f(λ) ומכאן שהפולינומים זרים. 22

2.2. ספרביליות פרק 2. תורת גלואה תרגיל (**) 2.2.11 הפולינום [λ] λ 5 + λ 2 + 1 F ספרבילי אם ורק אם charf.53, 61 טענה 2.2.12 יהי [λ] g F פולינום אי פריק. אז התנאים הבאים שקולים: 1. g אינו ספרבילי..g = 0.2.g(λ) = g 1 (λ p כך ש ( ויש פולינום g 1 p = charf > 0.3 הוכחה. (2) :(1) מכיוון ש g אי פריק, (g, g ) = g אם ורק אם 1 ) g (g, אם ורק אם g אינו ספרבילי. אבל g g = (g, g ) אינו אפשרי ל 0 g בגלל המעלה, ומתקיים אם = 0.g (3) :(2) נכתוב.g(λ) = a i λ i אם i 1 = g = ia i λ,0 אז = 0 n na כאשר deg(g) n, = כך ש 0 = n בשדה. לכן המאפיין הוא ראשוני כלשהו, p, ולא אפס. בנוסף לזה, = 0 i ia בשדה לכל,i ולכן = 0 i a לכל i זר ל p. כלומר, = g(λ) ) p a i (λ p ) i/p = g 1 (λ כאשר.g 1 (λ) = a i λ i/p מאידך אם ) p g(λ) = g 1 (λ אז = 0 ) (λp g (λ) = (λ p ) g 1 (λp ) = pλ p 1 g 1 לפי הכלל לנגזרת פנימית (או לפי בדיקה ישירה). ספרביליות אינה תלויה בשדה: מסקנה 2.2.13 יהיו F K שדות, ויהי [λ].f F אז f ספרבילי כפולינום מעל F אם ורק אם הוא ספרבילי כפולינום מעל K. הוכחה. לפי טענה 2.2.12 הספרביליות תלויה רק בנגזרת, שאינה תלויה בשדה. הערה 2.2.14 בהמשך לטענה 2.2.12, אם [λ] g F אי פריק ולא ספרבילי, ו = g(λ).deg(g) = p deg(g 1 אי פריק ו ( אז g 1,g 1 (λ p ) 2.2.3 שיכונים במקרה הספרבילי בהמשך ללמה 2.1.7: n F 1 למה 2.2.15 יהי F E שיכון ותהי [a] F 1 = F הרחבה פשוטה של ;F אז = E F ספרבילי ומתפצל ב E. f אם ורק אם F] 1 F: ] באותו אופן, לפי משפט 2.1.8.2: משפט 2.2.16 יהיו f פולינום מעל K F, שדה פיצול של f מעל F, ו E שדה מפצל. אז n K F E אם ורק אם f ספרבילי. = [K :F ] 23

פרק 2. תורת גלואה 2.2. ספרביליות 2.2.4 הרחבות ספרביליות הגדרה 2.2.17 איבר של הרחבה K/F הוא איבר ספרבילי אם הפולינום המינימלי שלו ספרבילי. ההרחבה נקראת הרחבה ספרבילית אם כל האיברים שלה ספרביליים. תרגיל (*) 2.2.18 בכל הרחבה,K/F כל a F הוא ספרבילי. המינימלי שלו הוא λ, a שהוא פולינום ספרבילי. הדרכה. הפולינום תרגיל (*) 2.2.19 כל הרחבה של שדות במאפיין אפס היא ספרבילית. הדרכה. לפי טענה 2.2.12 כל פולינום אי פריק במאפיין אפס הוא ספרבילי. טענה 2.2.20 יהיו F K E שדות, ויהי.a E אם a ספרבילי מעל,F אז הוא ספרבילי מעל K. הוכחה. הפולינום המינימלי g של a מעל K מחלק (מעל K) את הפולינום המינימלי של a מעל F, שאותו נסמן ב f. לפי מסקנה f 2.2.13 ספרבילי מעל K, ולפי מסקנה 2.2.8 גם g ספרבילי. להלן דוגמא טיפוסית להרחבה לא ספרבילית. טענה 2.2.21 יהיו F E שדות ממאפיין,p ויהי.a E נניח ש a p F ו.a F אז.1 הפולינום המינימלי של a מעל F הוא.λ p a p F. אינו ספרבילי מעל a 2. הוכחה. ברור ש a הוא שורש של.f(λ) = λ p a p יהי g(λ) הפולינום המינימלי של a מעל g(λ) = (λ a) k ולכן,f(λ) = (λ a) p אלא ששם,E ולכן גם מעל,F מעל g f אז.F לאיזשהו.k p מאידך [λ],g(λ) F ולכן המקדם החופשי שלו ;a k F אם k < p נובע מכאן a, F בסתירה להנחה. אבל = 0 f, ומכאן ש f לא ספרבילי. טענה 2.2.22 תהי K/F הרחבה של שדות ממאפיין p, ויהי a. K אז a ספרבילי אם ורק אם [a].f [a p ] = F הוכחה. יהי g הפולינום המינימלי של a מעל F. אם האיבר a אינו ספרבילי אז g אינו ספרבילי, וקיים dim(f [a p ]) = deg(g 1 ) < deg(g) = dim(f [a]) במקרה זה ;g(λ) = g 1 (λ p כך ש ( g 1 לפי מסקנה,1.2.10 ולכן [a].f [a p ] F מצד שני, אם [a],f [a p ] F אז a אינו ספרבילי מעל ] p F a] לפי טענה 2.2.12, ולכן אינו ספרבילי גם מעל F לפי טענה 2.2.20. משפט 2.2.23 תהי K/F הרחבת שדות סופית ממאפיין p. אז K/F ספרבילית אם ורק אם.(K p המכיל את K הוא תת השדה הקטן ביותר של F K p (כאשר F K p = K 24

2.2. ספרביליות פרק 2. תורת גלואה הוכחה. אם K/F ספרבילית, אז לכל a K מתקיים a F [a] = F [a p ] F K p לפי טענה 2.2.22 ולכן.K = F K p מצד שני, נניח ש K, = F K p ויהי a K איבר לא ספרבילי מעל F; עלינו להגיע לסתירה. לפי טענה,2.2.22 [a],f [a p ] F ולכן a אינו ספרבילי מעל ] p,f [a ובנוסף = K.F K p F [a p ]K p נחליף, אם כך, את F ב [,F [a p וכך נוכל להניח ש.a p F נשלים =.K נגדיר העתקה את {a} לבסיס a 1,..., a n של ההרחבה, עם,a 1 = a כך ש F a i F a p i.p (a i ) = a p i מכיוון ש = לינארית P, : K K כמרחבים לינאריים מעל F, לפי F F p a p i לפי ההנחה, P על, ולכן גם חד חד ערכי. אבל = F ( F a i ) p = F K p = K = 0 p P (a a p ) = P (a) P (a p ) = a p a לפי ההגדרה, ולכן,a = a p F בסתירה להנחה. מסקנה 2.2.24 יהיו F K E שדות. אם ההרחבות E/K ו K/F ספרביליות, אז גם E/F ספרבילית. הוכחה. לפי משפט,2.2.23 p E = KE ו,K = F K p ומספיק לחשב = p F E p = F (KE p ).F K p E p2 = KK p E p2 = K(KE p ) p = KE p = E משפט 2.2.25 הרחבה K/F הנוצרת על ידי איברים ספרביליים היא ספרבילית. הוכחה. ראשית, נניח ש K נוצר על ידי איבר אחד, כלומר [a] K = F כאשר a K ספרבילי מעל.F אז F K p = F [a p ] = F [a] = K לפי טענה,2.2.22 ו K/F ספרבילית לפי משפט.2.2.23 שנית, נניח ש K נוצר סופית, כלומר ] n K = F [a 1,..., a כאשר a i ספרביליים מעל.F נסמן ] i.k i = F [a 1,..., a לפי טענה,2.2.20 כל a i ספרבילי מעל i 1,K ולפי החלק הראשון K i ספרבילי מעל 1 i K. אינדוקציה על פי מסקנה 2.2.24 מראה ש K/F ספרבילית. וכעת תהי K/F הרחבה הנוצרת על ידי הקבוצה כלשהי S שכל אבריה (אלגבריים ו)ספרביליים מעל.F יהי,a K אז קיימת תת קבוצה סופית S 0 S כך ש [,a F (S 0 ) = F [S 0 ו [ F S] 0 ספרבילי לפי החלק הקודם של המשפט; לכן גם a ספרבילי. 2.2.5 הרחבות אי ספרביליות טהורות הרחבה K/F היא אי ספרבילית טהורה אם כל איבר a K שאינו ב F הוא לא ספרבילי. הערה 2.2.26 אם K/F אי ספרבילית טהורה ו K F, L אז גם K/L וגם L/F אי ספרביליות טהורות. דוגמא 2.2.27 יהי F שדה, ויהי a F כך ש.a F p אז a] F [ p הוא הרחבה אי ספרבילית טהורה של F. טענה 2.2.28 הממד של הרחבה אי ספרבילית טהורה (מממד סופי) הוא חזקה של p. 25

פרק 2. תורת גלואה 2.2. ספרביליות הוכחה. באינדוקציה על הממד. יהי a K איבר שאינו ב.F לפי טענה,2.2.22 [a],f [a p ] F ולפי טענה,2.2.21 p.[f [a]:f [a p ]] = לפי הנחת האינדוקציה ] ]:F [F [a p ו [[ a ] [K :F הם חזקות p, וסיימנו כי ] ]:F.[K :F ] = [K :F [a]] [F [a]:f [a p ]] [F [a p מסקנה 2.2.29 תהי K/F הרחבה כלשהי של שדות. 1. האוסף K sep של אברי K שהם ספרביליים מעל F, הוא שדה..F K sep K.2.3 ההרחבה K sep /F ספרבילית מקסימלית; 4. ההרחבה K/K sep אי ספרבילית טהורה. הוכחה..1 יהיו ;a 0,a, b K sep לפי משפט,2.2.25 כל איבר של b] F [a, הוא ספרבילי, ובפרט a, a + b, a 1, ab ספרביליים. 2. כל איבר של F הוא ספרבילי (תרגיל 2.2.18). 3. כל איבר ספרבילי ב K שייך ל K. sep.4 אם a K ספרבילי מעל K sep אז ההרחבה K sep [a]/k sep ספרבילית לפי משפט,2.2.25 ואז K sep [a]/f ספרבילית לפי הטרנזיטיביות ו a ספרבילי מעל F כאיבר בהרחבה ספרבילית; אבל אז.a K sep אם כך, בכל הרחבה K/F יש תת הרחבה ספרבילית מקסימלית K sep (הנקראת גם הסגור הספרבילי היחסי של F בתוך K K); אי ספרבילי טהור מעל תת השדה הזה. כך אפשר לפרק כל הרחבה לצעד ספרבילי ואחריו צעד איספרבילי. האם אפשר להפוך את הסדר, ולבצע ראשית הרחבה אי ספרבילית ואחר כך הרחבה ספרבילית? הדוגמא הבאה מראה שזה בלתי אפשרי. דוגמא 2.2.30 יהי k שדה מושלם ממאפיין 2, וניקח (µ F = k(λ, ו K = F [x x 4 = λx 2 + µ]. הסגור הספרבילי של F בתוך K הוא ] 2 F, x] ו [ K/F x] 2 אי ספרבילי. מאידך, אין ב K אף איבר אי ספרבילי מעל F (לפי חישוב ישיר: אין אף איבר מחוץ ל F שריבועו ב F). 26

תורת גלואה 2.3. חבורות גלואה פרק 2. 2.3 חבורות גלואה 2.3.1 אוטומורפיזמים אוטומורפיזם של הרחבת שדות K/F הוא אוטומורפיזם K K המקבע את כל אברי F. כל אנדומורפיזם K K הוא אוטומורפיזם מעל תת השדה הראשוני של K, אבל אוטומורפיזמים של הרחבה מאפשרים ללמוד את המבנה של K מעל F, ולא כשדה בעלמא. הערה 2.3.1 נניח ש ( S ) K; = F אז כל אוטומורפיזם של ההרחבה K/F נקבע לפי התמונות של אברי S. בפרט, אם [a],k = F אז אוטומורפיזם σ : K K נקבע לפי הערך.σ(a) לטענה הקלה הבאה תפקיד מרכזי בקשר בין פולינומים לאוטומורפיזמים: טענה 2.3.2 יהי σ : K K אוטומורפיזם מעל.F לכל שורש a K של פולינום f.(f(σ(a)) = σ(f(a)) = הוא שורש (משום ש 0 σ(a) גם,F [λ] יש להבחין שלא כל פונקציה המעבירה כל יוצר של K/F לשורש אחר של אותו פולינום מינימלי אפשר להמשיך לאוטומורפיזם. 2.3.2 חבורת גלואה הגדרה 2.3.3 תהי K/F הרחבה של שדות. חבורת גלואה של ההרחבה היא החבורה ) Gal(K/F של כל האוטומורפיזמים K K השומרים את אברי F. תרגיל (**) 2.3.4 חשב את חבורות גלואה של ההרחבות.Q[ρ 3 Q/[,C/R תאר את האוטומורפיזמים של Q[2 1/3, ρ 3 ]/Q ושל ] 3.Q[2 1/3, ρ 3 ]/Q[ρ דוגמא 2.3.5 חבורת גלואה (Q/[ Gal(Q[2 1/3 היא טריוויאלית. הערה 2.3.6 נניח ש [ K = F [α 1,..., α n כאשר α i הם שורשי פולינום מעל.f אז כל אוטומורפיזם משרה תמורה על השורשים, ומוגדר לפיה. כלומר, יש שיכון Gal(K/F ) S n. בהערה 2.3.6 אין צורך להניח ש f אי פריק. אם,f = f 1 f t כמו במקרה. S deg fi מתקבלת הצגה לתוך המכפלה,f = (x 2 2)(x 2 3) 27

2.3. חבורות גלואה פרק 2. תורת גלואה 2.3.3 הסדר של חבורת גלואה הערה 2.3.7 כאשר ] F: K] סופי, כל שיכון K K השומר על F שומר על הממד, ולכן הוא אוטומורפיזם. (בממד אינסופי הטענה אינה נכונה, כפי שמראה דוגמא 3.5.1.) טענה 2.3.8 תהי K/F הרחבה סופית. הסדר של חבורת גלואה ) Gal(K/F הוא, לפי. Gal(K/F ) = n K F K הערה 2.3.7, מספר השיכונים,F 1 אז ) /F Gal(F 1 שווה למספר השורשים של לפי למה,2.1.7 אם [a] = F הפולינום המינימלי f ב F. 1 לפי משפט 2.1.8.1: משפט 2.3.9 לכל הרחבה סופית. Gal(K/F ) [K :F ],K/F במשפט,2.2.16 ניקח :E = K משפט 2.3.10 יהי K שדה פיצול של פולינום ספרבילי מעל F. אז ] F:. Gal(K/F ( = K] 2.3.4 שדה השבת יהי K שדה. לכל תת שדה F K מתאימה חבורת אוטומורפיזמים ).Gal(K/F בכיוון ההפוך, לכל חבורת אוטומורפיזמים G מתאים תת שדה K G = {a K : ( σ G)σ(a) = a}, הנקרא שדה השבת של G. הערה 2.3.11 אם F L K אז ) Gal(K/F.Gal(K/L) ואם H G אז.K G K H הערה 2.3.12 לכל F K מתקיים ) Gal(K/F F K (כי אברי F קבועים תחת כל אוטומורפיזם של,(K/F ולכל חבורת אוטומורפיזמים G של G Gal(K/K G ),K (כי כל אוטומורפיזם ב G שומר על כל אברי K). G 2.3.5 התאמת גלואה נטפל בהתאמה של חבורה לשדה ושדה לחבורה באופן פורמלי. נסמן ב F את סריג תת השדות של K, וב G את סריג תת החבורות של,Aut(K) ונגדיר העתקות : F G F G : 28 לפי Gal(K/L) L = ו.H = K H

תורת גלואה 2.3. חבורות גלואה פרק 2. G? = K K G הערה 2.3.13 תכונות מיידיות של ההעתקות הללו: 1. שתי ההעתקות הופכות סדר הכלה (זו הערה 2.3.11)..2 תמיד L L ו H H (זו הערה.(2.3.12 ומזה נובע:.H = H ו L = L.3.4 H H = אם ורק אם L H = לשדה כלשהו ;L בדומה,.H לחבורה כלשהי L = H אם ורק אם L = L אם לנסח את 2 ו 4 על פי הסימונים הקאנוניים: הערה.1 2.3.14 תהי G חבורת אוטומורפיזמים של K. אז ) G G, Gal(K/K עם שוויון אם ורק אם G חבורה גלואה של הרחבה כלשהי. (לפי מסקנה,2.5.4 תמיד = ) G Gal(K/K.(G G K K G? F.2 תהי K/F הרחבה. אז ) Gal(K/F,F K עם שוויון אם ורק אם F הוא שדה שבת של חבורה כלשהי. (ראה מסקנה 2.3.16: F שדה שבת אם ורק אם K/F 'הרחבת גלואה'). 2.3.6 ממד וסדר להתאמת גלואה שהוצגה בסעיף הקודם נוסיף את מרכיב הגודל: לחבורות אוטומורפיזמים סופיות יש סדר, H ; לתת שדות יש ממד, ] F: K]. מכיוון שלא יהיה חשש לבלבול, נסמן ] F: F. = K] לגדלים אלה יש תכונה שימושית: אם H G (חבורות סופיות) אז G, H ומ G H = נובע.H = G באופן דואלי, בשדות: אם F L K (הרחבות מקו ממד סופי) אז F L ומ L F = נובע.F = L כעת אפשר לקרוא את משפט 2.3.9: לכל F K (סופי), (2.2) F F. בכך נוצר חוסר סימטריה מסויים, משום שאיננו יודעים טענה דואלית על חבורות אוטומורפיזמים. 29

2.4. הרחבות גלואה פרק 2. תורת גלואה משפט 2.3.10 מצביע על תכונה המיוחדת למקרה ש K/F שדה פיצול של פולינום ספרבילי. נבחין שאם K/F כזה ו F, L אז K הוא שדה פיצול של אותו פולינום ספרבילי גם מעל L. לכן נקרא לתת שדה כזה 'תת שדה גדול', ונבחין שתת שדה המכיל תת שדה גדול הוא גדול בעצמו. משפט 2.3.10 קובע שלכל F גדול, F F. = טענה 2.3.15 אם F גדול, אז.F = F הוכחה. לפי ההנחה F ; F = אבל F,F כלומר גם F גדול, ולכן = F. F כעת F F = F = F = לפי הערה,2.3.13.3 מש"ל. בלשון קונוונציונלית, מסקנה 2.3.16 אם K/F שדה פיצול של פולינום ספרבילי, אז K. Gal(K/F ) = F 2.4 הרחבות גלואה הגדרה 2.4.1 הרחבה E/F היא נורמלית אם הפולינום המינימלי מעל F של כל a, E מתפצל ב E. הרחבה נורמלית וספרבילית נקראת הרחבת גלואה. הערה 2.4.2 אם K/F גלואה ו,F L K אז גם K/L גלואה. משפט 2.4.3 תהי K/F הרחבה סופית. התנאים הבאים שקולים: 1. K/F הרחבת גלואה. 2. K הוא שדה פיצול של פולינום ספרבילי מעל F (כלומר: F גדול)..K עבור חבורת אוטומורפיזמים מתאימה של F = K G.3 הוכחה. (1) :(2) תהי S קבוצת יוצרים (סופית) של.K/F לכל a S יהי f a הפולינום המינימלי מעל F. לפי ההנחות f = f a ספרבילי ומתפצל מעל K. אבל K שדה הפיצול של f. (2) :(3) מסקנה.2.3.16 (3) :(1) יהי.a K צריך להוכיח שהפולינום המינימלי f של a מעל F הוא ספרבילי ומתפצל ב K. יהיו a = a 1,..., a n השורשים השונים של f ב K, ויהי ) i.g(λ) = (λ a ברור ש g f מעל.K אבל G פועלת על קבוצת השורשים ומתקיים σ(g) = g לכל.σ G לכן [λ],g F וכיוון ש f אי פריק,.g = f לכן f ספרבילי ומתפצל ב K. נוסיף עוד שתי תכונות שקולות: 30

תורת גלואה 2.5. המשפט היסודי פרק 2. טענה 2.4.4 התכונות (1), (2), (3) שקולות גם לבאות:.(F = F (היינו F = K Gal(K/F ).4.( F = F (או Gal(K/F ) = [K :F ].5 הוכחה. את (1) (2) (3) הוכחנו במשפט.2.4.3 השקילות (3) (4) היא הערה.2.3.14.2 הגרירה (2) (5) היא משפט.2.3.10 נוכיח (5).(4) נניח F. F = מכיוון ש F הוא שדה שבת, זהו שדה גדול, ולכן הוא מקיים את תכונה :(5) F. F = אבל F F = ולכן F, F = F = F = ו ) Gal(K/F F = F = K הוא שדה שבת. 2.4.1 סדר וממד נסכם את התכונות הידועות עד כאן על הסדר והממד. טענה 2.4.5 לכל תת שדה F ולכל חבורת אוטומורפיזמים G מתקיים G G = G ; F = F F. הוכחה. לפי טענה,2.4.4 F F = אם ורק אם F. F = עבור G F = הטענה הראשונה מתקיימת, ולכן תמיד G, G = אבל G,G וזה מוכיח את השורה הראשונה. אם נציב F G = נקבל בשוויון הימני F F = כי F,F = והרי.F F כי F F קיבלנו את (2.2) כמסקנה. את אי השוויון F F אי אפשר להחליף בשוויון. ראינו בדוגמא 2.3.5 שיתכן F. F = 1 < 3 = זה גם מראה שיתכן L F = בלי ;F = L בדוגמא לעיל.F = K = 1 את אי השוויון על חבורות נחליף בשוויון בפרק הבא. 2.5 המשפט היסודי לפי הידוע לנו עד כה, אם G חבורת אוטומורפיזמים של K, אז יתכן ש = G G 1 ) G,Gal(K/K כלומר יש ל K/K G יותר אוטומורפיזמים משהגדירו את שדה השבת. כאן G,G 1 = והרי לשתי החבורות יש אותו שדה שבת 1 G.G = לכן ה'תקלה' בהכלה G G 1 משמעה גם ששדה השבת אינו מגדיר היטב את החבורה שהגדירה אותו. הלמה של ארטין מראה שכל הבעיות האלה אינן מתרחשות. 31

2.5. המשפט היסודי פרק 2. תורת גלואה 2.5.1 הלמה של ארטין את התוצאה ] G G K] K: (טענה 2.4.5) אפשר להוכיח ישירות באמצעות למה שיש לה גם שימושים אחרים. תהי G חבורה של אוטומורפיזמים של K, ונסמן F. = K G כל אוטומורפיזם הוא איבר של ) (F End F (K) = M n כאשר ] :F.n = [K זהו מרחב וקטורי מעל K, על ידי הפעולה kφ(x).(kφ)(x) = ככזה, הממד שלו הוא כמובן n. למה 2.5.1 האיברים של (K) G End F בלתי תלויים ליניארית מעל.K בפרט G.[K :F ] הוכחה. נניח שיש צירוף ליניארי = 0 i k i σ שבו לא כל המקדמים אפס. נבחר צירוף כזה עם מספר קטן ביותר של מונומים. על ידי הרכבה מימין אפשר להניח ש = 1 1 σ. לפי ההנחה = 0 (x) k i σ i לכל.x K קח t K שאינו נשמר תחת.σ 2 על ידי הצבת tx במקום x מקבלים = 0 (x) k i σ i (t)σ i, אבל גם = 0 (x) k i σ 1 (t)σ i. אם נחסר נקבל יחס קצר יותר, בסתירה. נימוק דומה למדי, מעט יותר מורכב, מוכיח גם את הכיוון ההפוך. נפתח בהערה כללית. הערה 2.5.2 תהי ) Gal(K/F G חבורה של אוטומורפיזמים. תהי = 0 i j : i a ijx מערכת משוואות מעל K בנעלמים x, i שהיא אינווריאנטית להפעלת G: לכל משוואה σ G ולכל,j המשוואה = 0 i σ(a ij )x נובעת מן המערכת. אז גם מרחב הפתרונות אינווריאנטי להפעלת,G כלומר אם ) m (x 1,..., x פתרון, אז לכל σ G גם )) m (σ(x 1 ),..., σ(x פתרון. אכן, נניח ש 0 = i a ij x לכל,j אז לכל σ G ולכל. a ij σ(x i ) = σ( σ 1 (a ij )x i ) = 0,j למה 2.5.3 (הלמה של ארטין) תהי G חבורת אוטומורפיזמים של שדה כלשהו K..[K :K G ] G אז הוכחה. נכתוב } n.g = {σ 1 = 1,..., σ צריך להוכיח שאם m > n אז כל m איברים.F 1 = K G הם תלויים ליניארית מעל a 1,..., a m K במערכת המשוואות = 0 j j σ i(a j )x יש m נעלמים ו n משוואות, ולכן יש לה פתרון שונה מאפס.x 1,..., x m K נתבונן בפתרון כזה שבו מספר ה 0 j x מינימלי. על ידי סידור מחדש של ה a, j אפשר להניח 0 1 x. נחלק את הפתרון ב,x 1 ונקבל פתרון שבו = 1 1.x לפי הערה,2.5.2 גם הווקטור )) m (σ(x 1 ),..., σ(x פתרון. אבל,σ(x 1 ) = x 1 ולכן חיסור שני הפתרונות יתן פתרון עם מספר קטן יותר של גורמים שונים מאפס, בסתירה, אלא אם σ(x j ) = x j לכל j. מכיוון שזה נכון לכל. x j a j מתקבלת התלות הליניארית = 0 i ועבור = 1,x 1,..., x m K G,σ מטענה 2.4.5 מקבלים כעת G ; G = G = אבל 32 הוכחנו G. G.G = G ולכן,G G

תורת גלואה 2.5. המשפט היסודי פרק 2. מסקנה 2.5.4 לכל חבורת אוטומורפיזמים G של שדה K, Gal(K/K G ) = G [K :K G ] = G. ו 2.5.2 המשפט היסודי של תורת גלואה תהי K/F הרחבת גלואה עם ) Gal(K/F.G = ההעתקות Gal(K/L) L = ו H = K H מעבירות תת חבורות של G (הסריג G) להרחבות ביניים של F (הסריג F), ולהיפך. משפט 2.5.5 ההעתקות Gal(K/L) : L ו : H K H הן אנטי איזומורפיזמים הפוכים זה לזה של הסריגים G ו F. בנוסף לזה: ] H H = [K :K ו ( Gal(K/L.[K :L] = הוכחה. אלו אנטי הומומורפיזמים של הסריגים לפי הערה (1).2.3.13. לפי הערה 2.4.2, K גלואה מעל כל הרחבת ביניים F, L K ולפי מסקנה 2.4.4 נובע מכאן L. = L לפי מסקנה 2.5.4, H H. = לכן ההעתקות הופכות זו את זו, ומכאן שהן אנטי איזומורפיזמים. השוויון H H = נובע ממסקנה 2.5.4, אבל כל שדה ביניים הוא מהצורה H ולכן גם L. L = H 1, H 2 = H 1 H 2, (H 1 H 2 ) = H 1 H 2 ; בפרט: מסקנה 2.5.6 (L 1 L 2 ) = L 1, L 2, (L 1 L 2 ) = L 1 L 2. K H 1,H 2 = K H 1 K H 2, K (H 1 H 2 ) = K H 1 K H 2 ; Gal(K/L 1 L 2 ) = Gal(K/L 1 ), Gal(K/L 2 ), Gal(K/L 1 L 2 ) = Gal(K/L 1 ) Gal(K/L 2 ). 33

2.5. המשפט היסודי פרק 2. תורת גלואה נשאלת השאלה אלו הרחבות ביניים של K/F הן גלואה מעל F (הרי K הרחבת גלואה של כל שדה ביניים לפי הערה 2.4.2). משפט 2.5.7 תהי K/F הרחבת גלואה עם.Gal(K/F ) = G אז E H F/ הרחבה נורמלית אם ורק אם,H G ובמקרה זה.Gal(E H /F ) = G/H K τhτ 1 = { a K : ( σ H)τστ 1 (a) = a } = {τ(b) : b K, ( σ H)τσ(b) = τ(b)} = τ({b K : ( σ H)σ(b) = b} = τ(k H ). הוכחה. מחישוב, נסמן.L = K H נניח ש L הרחבה נורמלית של.F יהי,a L אז לכל τ G K τhτ 1 מכאן ש =.τ(a) L ולכן F, מעל a שורש של הפולינום המינימלי של τ(a).h G ולכן,τ G לכל τhτ 1 = H מכאן ש.τ(L) = L = K H כעת נניח ש H G. לפי החישוב, τ(l) = L לכל τ, G ולכן הצמצום של איברי G ל L מגדיר הומומורפיזם ) ) Gal(L/F θ. : Gal(K/F קל לבדוק ש,Ker(θ) = {τ G : τ L = 1} = Gal(L/F ) על. אבל θ ולכן,L θ(g) K G = F ולכן ) )/Gal(L/F.Gal(L/F ) = G/Ker(θ) = Gal(K/F מכאן ש = ) Gal(L/F L/F ולפי טענה 2.4.4 פירושו של דבר הוא ש,[G:Gal(K/L)] = [K:F ] [K:L] = [L:F ] גלואה. n. K F K אם נציב עובדה זו המשפט היסודי קובע ש [ = Gal(K/F ) = [K :F במסקנה 2.1.10, נקבל שתי תוצאות מעניינות: מסקנה 2.5.8 תהי K/F הרחבת גלואה. לכל שדה ביניים F L K יש ] F [L: שיכונים.L K [L:F ] לכן מספר תת השדות של K האיזומורפיים ל L שווה ל. Gal(L/F ) בפרט, אם L/F הרחבת גלואה, אז אף תת שדה אחר של L אינו איזומורפי לו. מסקנה 2.5.9 תהי K/F הרחבת גלואה. כל איזומורפיזם של שדות ביניים מושרה על ידי אוטומורפיזם של K. הוכחה. כל איזומורפיזם של שדות ביניים L L ϕ : הוא שיכון,L L K ולפי מסקנה 2.1.10 שיכון כזה ניתן להמשכה לשיכון σ, : K K שהוא אוטומוזפיזם לפי הממד. במלים אחרות, ϕ הוא הצמצום של σ ל L. מסקנה 2.5.10 (בהמשך להערה 2.3.6) נניח ש K/F היא הרחבת הפיצול של [λ] f. F אז חבורת גלואה ) Gal(K/F פועלת טרנזיטיבית על השורשים של f, אם ורק אם f אי פריק. 34

תורת גלואה 2.5. המשפט היסודי פרק 2. הוכחה. אם הפולינום פריק, אוטומורפיזם אינו יכול להעביר שורש של גורם אחד לשורש של גורם אחר. מצד שני, נניח ש f פריק. אם α α, שורשים של,f אז ] [α F [α] = F [λ]/ f = F לפי,(1.1) כאשר האיזומורפיזמים מעבירים α.α λ + f לפי מסקנה 2.5.9 יש אוטומורפיזם.σ(α) = α כך ש σ Gal(K/F ) 2.5.3 בעיית ההיפוך אחת הבעיות המרכזיות בתורת גלואה היא בעיית ההיפוך: האם כל חבורה סופית G מהווה חבורת גלואה של איזושהי הרחבה?K/Q נענה כאן על שאלה קלה בהרבה, ונראה שכל חבורה סופית מהווה חבורת גלואה של הרחבה כלשהי. לאור הערה 2.3.6, עלינו לטפל בתת חבורות של S. n טענה 2.5.11 תהי G S n תת חבורה כלשהי. אז קיימת הרחבת גלואה K/F כך ש G.Gal(K/F ) = הוכחה. נבחר שדה כלשהו,k ונתבונן בשדה הפונקציות הרציונליות ) n.k = k(α 1,..., α החבורה S n פועלת כחבורת תמורות על היוצרים α, 1,..., α n ובעזרת פעולה זו היא מהווה חבורה של אוטומורפיזמים של K. כתת חבורה, גם G פועלת על K. שדה השבת F = K G כולל את הפונקציות שהן סימטריות ביחס לפעולת G. לפי משפט 2.4.3, K/F היא הרחבת גלואה, ו.G = Gal(K/F ).f(λ) = (λ α i ) K S n נתבונן בפולינום [λ] [λ] K G תרגיל (*) 2.5.12 הפולינום f אי פריק מעל F, = K G אם ורק אם פעולת G על n},... {1, היא טרנזיטיבית. 2.5.4 סגור גלואה טענה 2.5.13 לכל הרחבה ספרבילית סופית L/F יש הרחבת גלואה K/F כך ש L. K הרחבה מינימלית כזו נקראת 'סגור גלואה' של.L/F אם ] t L = F [α 1,..., α ו f i הפולינום המינימלי של α i מעל F, אז שדה הפיצול של f 1 f t הוא סגור גלואה של.L/F נתבונן בסגור גלואה מנקודת המבט של התאמת גלואה: נסמן ) Gal(K/F G, = אז K N /F אז תת חבורה המוכלת ב H, N G אם.H G עבור תת חבורה L = K H הרחבת גלואה המכילה את L, ולפי המינימליות = 1 N. במלים אחרות, תת החבורה הנורמלית המקסימלית ש N מכיל, 1 ghg,core G (H) = g G היא טריוויאלית. מסקנה 2.5.14 אם K/F סגור גלואה של הרחבה,L/F אז יש שיכון Gal(K/F ) S n כאשר ] [L:F.n = בפרט ] [K:F Gal(K/F ) S לכל הרחבת גלואה.K/F 35

2.5. המשפט היסודי פרק 2. תורת גלואה הוכחה. לפי הלמה של שטייניץ (למה 2.5.18) [α] L, = F ואז אוטומורפיזמים של K מוגדרים על ידי פעולת התמורה שלהם על השורשים השונים של הפולינום המינימלי f של α בתוך K. הערה 2.5.15 אם K/F גלואה ו L = K H עבור ) Gal(K/F,H G = אז: 1. תת השדה המקסימלי של L שהוא גלואה מעל F הוא :g G K; ghg 1 2. תת השדה המינימלי של K המכיל את L שהוא גלואה מעל F הוא G(H) K; Core 3. תת השדה המינימלי של L ש L גלואה מעליו הוא G(H) K; N לכן = ) Gal(L/F.N G (H)/H 2.5.5 מספר שדות הביניים מסקנה 2.5.16 בכל הרחבת גלואה סופית יש מספר סופי של שדות ביניים. מסקנה 2.5.17 לכל הרחבה ספרבילית סופית L/F יש מספר סופי של שדות ביניים. (קח K L כך ש K/F גלואה, והפעל את מסקנה 2.5.16). (טענה זו אינה נכונה אם L/F אינה ספרבילית.) למה 2.5.18 (הלמה של שטייניץ) כל הרחבה ספרבילית סופית L/F היא הרחבה פשוטה. הוכחה. ההוכחה למקרה ש F אינסופי. בהמשך (הערה 3.1.2) נראה שהטענה נכונה גם במקרה הסופי. יהיו.x, y L יש אינסוף איברים מהצורה,α F,x + αy אבל (מסקנה 2.5.17) רק מספר סופי של שדות ביניים של.F/L לכן יש שני ערכים שונים,x + αy, x + α y אבל אז L 0.L 0 = F [x + αy] = F [x + α y] כך ש α, α F ולכן (α α )y L 0 ומכאן y L 0 ו.x L 0 כלומר, y].f [x + αy] = F [x, כעת הטענה נובעת מאינדוקציה על מספר היוצרים. 2.5.6 הרכבה של שדות אפשר לדלג הגדרת ההרכבה,K 1 K 2 כאשר.K 1, K 2 E חבורת גלואה של ההרכבה מעל.F = K 1 K 2 טענה 2.5.19 אם,F F, K E אז ] :F.[F K :K] [F (באינדוקציה על מספר היוצרים של F, F/ לפי טענה 1.2.18). 36

פרק 3 שימושים 3.1 שורשי יחידה איבר ρ F נקרא שורש יחידה אם יש > 0 n כך ש 1 = n ρ. במלים אחרות שורשי יחידה הם האברים מסדר סופי בחבורה הכפלית של השדה. שורש יחידה הוא מסדר n אם = 1 n ρ; הוא נקרא פרימיטיבי אם הסדר שלו, כאיבר בחבורה, שווה ל n. ρ n = e 2πi את האיבר המסויים של שדה מעל שדות ממאפיין אפס, מסמנים ב n המספרים המרוכבים C המוגדר לפי הנוסחה הטריגונומטרית. בחירה זו אינה מהותית, משום שאם ρ n שורש יחידה פרימיטיבי מסדר n, אז שורשי היחידה אחרים מאותו סדר הם החזקות ρ k n עבור k, U n כאשר U n היא חבורת אוילר (שסדרה ϕ(n) הוא פונקציית אוילר בנקודה n). 3.1.1 החבורה הכפלית של שדה משפט 3.1.1 כל תת חבורה כפלית סופית של שדה היא ציקלית. הוכחה. נסמן exp(g) e. = אז כל אברי G הם שורשים של הפולינום 1 e x, ולפי מסקנה 1.1.9, e G. לכן G e, = ומכיוון שבחבורה אבלית תמיד יש איבר שסדרו שווה לאקספוננט, G ציקלית. הערה 3.1.2 כעת אפשר להשלים את ההוכחה של הלמה של שטייניץ, למה 2.5.18. תהי K הרחבה ספרבילית של שדות סופיים (את המקרה האינסופי כבר הוכחנו). אז K/F חבורה סופית ולכן ציקלית. נסמן ב K a יוצר של החבורה, אז בהכרח [a] K. = F לעומת זאת, חבורות כפליות אינסופיות של שדה יכולות להיות בעלות מבנה מורכב. לדוגמא, החבורה הכפלית Q היא מכפלה ישרה 5 3 2, 1 כלומר.Z 2 Z N 37

3.1. שורשי יחידה פרק 3. שימושים 3.1.2 הפולינומים הציקלוטומיים כל שורש יחידה מסדר n מאפס את הפולינום 1 n λ, אבל זהו אינו הפולינום המינימלי, משום שהוא פריק בעליל. נגדיר את הפולינום הציקלוטומי מסדר Φ, n (λ) C[λ] n, באופן הבא: Φ n (λ) = (k,n)=1 (λ ρ k n) כאשר ) n ρ n = exp( 2π הוא שורש יחידה פרימיטיבי מסדר n (אבל להגדרת הפולינום אין זה משנה מהו השורש שנבחר). deg(φ n (λ)) = ϕ(n). מן ההגדרה נובע ש מסקנה 3.1.3 השורשים של (λ) Φ n הם שורשי היחידה הפרימיטיביים מסדר n. ברור ש Φ d (λ) = n 1 (λ ρ nk/d n ) = (λ ρ i n) = λ n 1. d n d n (k,n)=d i=0 משפט Z[λ] 3.1.4.Φ n (λ) הוכחה. באינדוקציה על.n עבור = 1,n.Φ n (λ) = λ 1 נניח שהטענה נכונה לכל מחלק של,n אז 1 n Φ n (λ) λ מעל המרוכבים, עם מנה d(λ),φ n(λ) = d n, d<n Φ ולכן Q[λ] Φ. n (λ) לפי הלמה של גאוס, Z[λ] Φ n (λ) כי המנה היא פולינום מתוקן ולכן פרימיטיבי. בזכות המשפט הזה, הפולינום הציקלוטומי מוגדר מעל כל שדה. 38

שימושים 3.1. שורשי יחידה פרק 3. Φ 2 (λ) = λ2 1 λ 1 = λ + 1; Φ 3 (λ) = λ3 1 λ 1 = λ2 + λ + 1; Φ 4 (λ) = λ 4 1 (λ 1)(λ + 1) = λ2 + 1; Φ 5 (λ) = λ5 1 λ 1 = λ4 + λ 3 + λ 2 + λ + 1; Φ 6 (λ) = λ 6 1 (λ 1)(λ + 1)(λ 2 + λ + 1) = λ2 λ + 1; דוגמא 3.1.5 Φ 105 (λ) = λ 48 + λ 47 + λ 46 λ 43 λ 42 2λ 41 + λ 2 + λ + 1 ) 105 Φ הוא הפולינום הציקלוטומי הראשון עם מקדם שאינו,0.) ±1 משפט 3.1.6 הפולינומים (λ) Φ n אי פריקים מעל.Q הוכחה. אחרת, לפי הלמה של גאוס, אפשר להניח שיש פירוק לא טריוויאלי = (λ) Φ n g(λ)h(λ) כאשר Z[λ],g, h ו g אי פריק. אז קיימים שורש ρ של g וראשוני p זר ל n, כך ש ρ p שורש של h. מכאן ש ( g(λ) h(λ p מעל Z. מעתה נעבוד מעל.Z/pZ נבחין ש 1 n λ ספרבילי כי n 1 (λ n 1) = nλ ו 0 n g(λ) h(λ p ) = h(λ) p מתקיים p מודולו ספרבילי. ומכאן נובע בפרט ש g,(mod p) ולכן,g h ומכאן שגם 1) n g 2 Φ n (λ מודולו,p סתירה לספרביליות. 3.1.3 השדה ] n Q[ρ לפי משפט 3.1.6, (λ) Φ n הוא הפולינום המינימלי של ρ n מעל Q. לכן [Q[ρ n ]:Q] = deg(φ n (λ)) = ϕ(n). יתרה מזו, ] n Q[ρ הוא שדה הפיצול של (λ) Φ n (וגם של 1 n λ), שהוא ספרבילי, ולכן Q[ρ n Q/[ היא הרחבת גלואה. אם כך, מהי חבורת גלואה שלה? טענה.Gal(Q[ρ n ]/Q) = U n 3.1.7 הוכחה. נגדיר התאמה f : Gal(Q[ρ n ]/Q) U n לפי σ k אם ;σ(ρ n ) = ρ k n תמיד קיים k U n יחיד כזה, משום ש ( σ(ρ n הוא שורש של (λ).φ n מאידך, לכל ρ k n,k U n הוא שורש של הפולינום המינימלי.Φ n מכאן ש ρ n ρ k n מגדיר איזומורפיזם Q[ρ n ] = Q[λ]/ Φ n (λ) = Q[ρ k n], ולכן ההתאמה היא על. לבסוף, קל לבדוק ש ( f(σ)f(σ.f(σσ ) = 39